Theorie Gamma-Typ

Formeln zur Berechnung und Dimensionierung von Typ – γ Heißluftmotoren, Stirlingmotoren nach der Schmidt Theorie

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Annahmen
3 Zeichenerklärungen
4 Formeln / Berechnungsgrundlagen
4.1 Ermittlung benötigter Volumina
4.2 Ermittlung der Ausgangstemperaturen
4.3 Schmidt Theorie
4.3.1 pV – Druck Volumen
4.3.2 Arbeit
4.3.3 Leistung
4.3.4 Wirkungsgrad
5 Quellennachweis
go to top

1 Einführung

Gustav Schmidt

Der hier dargestellte Berechnungsansatz stellt eine mathematische Analysemethode der ersten Ordnung dar. Dabei handelt es sich um eine reine Massebilanz für isothermische Zustandsänderungen des Arbeitsgases in der Maschine. Diese Methode, welche auch nach ihm benannt wurde, entwickelte Gustav Schmidt (siehe Bild) im Jahre 1871.
Sie ermöglicht die Berechnung des Druckverlaufes über dem Kurbelwinkel und die Betimmung der Zyklusarbeit unter bestimmten vereinfachenden Annahmen. (Siehe Punkt 2)
In der heutigen Zeit existieren deutlich komplexere und somit auch genauere Verfahren zur Bestimmung der Leistung von Heißluftmaschinen. Nicht zuletzt die mathematisch einfache Berechnung und die dennoch recht genauen Ergebnisse, geben der Schmidt Theorie nach wie vor eine nennenswerte Bedeutung.

Gustav Schmidt

  • geboren: 1826 in Wien
  • seit 1864 Professor des Maschinenbaues an der deutschen technischen Hochschule in Prag
  • 1871 analytische Lösung für die Kreisprozessarbeit einer Stirling-Maschine mit sinusförmiger Kolbenbewegung und Totvolumen
  • 1873 Professor der Mechanik und Maschinenlehre in Prag
  • verstorben: 1883 in Prag
go to top

2 Annahmen

  • Das Arbeitsgas ist ein ideales Gas
  • Es gibt es keine Druckverluste im Regenerator und es herrschen im inneren der Maschine keine unteschiedlichen Druckverhältnisse
  • Es wird von einem idealen Regenerator mit 100% Wirkungsgrad ausgegangen
  • Es treten keine Verluste bei den Wärmeübergängen auf
  • An jeder Stelle im Motor ist die Temperatur zeitlich konstant
  • Die Volumina im Expansions- und Kompressionsraum ändern sich sinusförmig
  • Expansions- und Kompressionsprozess verlaufen isotherm.
  • Es existieren keinerlei Reibungsverluste in der Maschine
go to top

3 Zeichenerklärungen

Zeichen Bezeichnung Einheit
P Leistung W
n Drehzahl U*min-1
p Druck Pa
pmin minimaler Druck in der Maschine Pa
pmean Arithmetischer Mittel – Druck in der Maschine Pa
pmax maximaler Druck in der Maschine Pa
WKreis Energie des Kreisprozesses Joule
WE Expansions-Energie Joule
WK Kompressions-Energie Joule
WA Energie des Arbeitskolbens Joule
m Masse – Arbeitsgas Kg
R Stoffabhängige Gaskonstante J*(Kg*K)-1
θ Phasenwinkel – Kurbelwinkel °
α Phasenverschiebungswinkel °
φ Null-Phasenverschiebungswinkel °
HubAk Arbeitskolbenhub m
DAk Durchmesser des Arbeitskolbens m
VA Phasenwinkelabhängiges Arbeitsvolumen m3
VAHV Hubvolumen des Arbeitskolbens m3
HTA Höhe des Totraumes im Arbeitszylinder m
VTA Arbeitszylinder-Tot-Volumen m3
VK Phasenwinkelabhängiges Kompressionsvolumen m3
HTK Höhe des Kompressions-Tot-raumes m
VTK Kompressions-Tot-Volumen m3
ARMat prozentualer Anteil des Regeneratormaterials (z.B. Drahtgeflecht) am Regeneratorvolumen. %
VR Regeneratorvolumen m3
HubVk Verdrängerkolbenhub m
DVk Verdrängerkolbendurchmesser m
HVk Höhe des Verdrängerkolbens m
DVzinclR Innendurchmesser des Verdrängerzylinders incl. Regenerator m
HVz Höhe des Verdrängerzylinders (innen) m
VE Phasenwinkelabhängiges Expansionsvolumen m3
VEHV Expansionshubvolumen m3
HTE Höhe des Expansions-Tot-raumes m
VTE Expansions-Tot-Volumen m3
VFix Hubunabhängiges Gesamtvolumen m3
v Verdichtungsverhältnis /
ϑh Temperatur ‚heiße‘ Seite – Expansionsraumtemperatur °C
ϑk Temperatur ‚kalte‘ Seite – Kompressionsraumtemperatur °C
Th Temperatur ‚heiße‘ Seite – Expansionsraumtemperatur K
Tk Temperatur ‚kalte‘ Seite – Kompressionsraumtemperatur K
TR Regeneratortemperatur K
s Summe der Verhältnisse aller phasenwinkelunabhängigen Volumen zu deren Temperatur /
β, b, c Koeffizienten der Schmidt-Analyse /
h, i Hilfsvariabeln, um nicht ständig das Gleiche berechnen zu müssen /
ηCa Carnot-Wirkungsgrad %
ηth,γ thermischer Wirkungsgrad des idealen Stirlingprozesses %
ηSch,γ Wirkungsgrad nach Schmidt Theorie %
go to top

4 Formeln / Berechnungsgrundlagen

4.1 Ermittlung benötigter Volumina

Formel: Hubvolumen des Arbeitskolbens (H.1)
Formel: Arbeitszylinder-Tot-Volumen (H.2)
Formel: Expansionshubvolumen (H.3)
Formel: Kompressions-Tot-Volumen (H.4)
Formel: Höhe des Expansions-Tot-raumes (H.5)
VFix = VTA + VTK + VTR + VEHV + VTE (H.6)
Formel: Verdichtungsverhältnis (H.7)
Formel: Expansions-Tot-Volumen (H.8)
Formel: Regeneratorvolumen (H.9)
go to top
4.2 Ermittlung der Ausgangstemperaturen

Th = ϑh + 273,15 (H.10)
Tk = ϑk + 273,15 (H.11)
Formel: Regeneratortemperatur (H.12)
go to top
4.3 Schmidt Theorie
4.3.1 pV – Druck Volumen

Formel: Druck in der Arbeitsmaschine (A.1)

Gamma Stirling Volumen

Phasenwinkel – abhängige Volumen von Expansions- und Kompressionsraum
Der Phasenwinkel θ sei 0, wenn der Verdrängerkolben im oberen Totpunkt steht und somit der Arbeitskolben 90 Grad vor OT.

Formel: Phasenwinkelabhängiges Expansionsvolumen (A.2)
Formel: Phasenwinkelabhängiges Arbeitsvolumen
Formel: Phasenwinkelabhängiges Arbeitsvolumen umgestellt
(A.3)
Formel: Phasenwinkelabhängiges Kompressionsvolumen (A.4)

Diagramm: Volumen nach Phasenwinkel

A.2 – A.4 umgestellt und in A.1.1 eingesetzt ergibt:

Formel: Druck in der Arbeitsmaschine umgestellt
Formel: Hilfsvariable s der Schmidt Theorie
(A.5)

Darstellung: Trigonometrische Substitution gem. Schmidt Theorie

Unter Zuhilfenahme der grafischen Darstellung ergibt sich die Möglichkeit folgender trigonometrischer Substitutionen:

Formel: Hilfsvariable h der Schmidt Theorie (H.13)
Formel: Hilfsvariable i der Schmidt Theorie (H.14)
Formel: Hilfsvariable c der Schmidt Theorie
Formel: Hilfsvariable c der Schmidt Theorie Formel: Hilfsvariable c der Schmidt Theorie

Alternative

Formel: alternative Hilfsvariable der Schmidt Theorie
Formel: alternative Hilfsvariable der Schmidt Theorie

(A.6)
Formel: Koeffizient beta der Schmidt-Analyse
Formel: Koeffizient beta der Schmidt-Analyse
(A.7)
Formel: Koeffizient Phi der Schmidt-Analyse (A.8)
Formel: Koeffizient b der Schmidt-Analyse (A.9)
Formel: Druck in der Arbeitsmaschine winkelabhängig (A.10)
Formel: maximaler Druck in der Arbeitsmaschine (A.11)
Formel: minimaler Druck in der Arbeitsmaschine (A.12)
Formel: durchschnittlicher Druck in der Arbeitsmaschine (A.13)

Da pmean den artihmetischen Mitteldruck darstellt und davon auszugehen ist, dass dieser Aufgrund der Konstruktion und eventueller Undichtheiten dem Umgebungsdruck entspricht, lässt sich A.13 zur Ermittlung der Gasmasse m nutzen.

Formel: Masse - Arbeitsgas (A.14)
go to top
4.3.2 Arbeit
Formel: Kompressions-Energie (A.15)
Formel: Expansions-Energie (A.16)
Formel: Energie des Arbeitskolbens (A.17)
Formel: Energie des Kreisprozesses

Aus A.15 und A.16 ergibt sich

Formel: Energie des Kreisprozesses umgestellt

(A.18)
go to top
4.3.3 Leistung
Formel: Leistung (A.19)
go to top
4.3.4 Wirkungsgrad
Formel: Carnot-Wirkungsgrad (A.20)
Formel: thermischer Wirkungsgrad des idealen Stirlingprozesses (A.21)
Formel: Wirkungsgrad nach Schmidt Theorie (A.22)
go to top

5 Quellennachweis

Ein Gedanke zu „Theorie Gamma-Typ

  1. Ich wollte darauf hinweisen, dass bereits in Gleichung A.1 ein Fehler ist. Richtigerweise müsste es heißen:

    p=mR/(Va/Tk+….)

    statt:

    p=mR*(Va/Tk+…)

    Ansonsten schöne Seite!

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.